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"Die Zerbrechlichkeit der Schönheit in Mathematik und Kunst"

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Sarah Jones Nelson und Enrico Bombieri

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Eine Zusammenarbeit unter der Schirmherrschaft der School of Mathematics, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey

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Veröffentlicht in Kunst im Leben der Mathematiker

Anna Kepes Szemerédi, Herausgeberin, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2015

Gibt es Schönheit in der Mathematik? Die Frage betrifft mathematische Objekte und ihre Beziehungen , den eigentlichen Gegenstand überprüfbarer Beweise. Mathematiker sind sich im Allgemeinen einig, dass Schönheit in der strukturellen Schönheit von Theoremen und Beweisen existiert, die größtenteils nur für Mathematiker selbst sichtbar ist, und dass in mathematischer Schönheit jeder in Kunst und Natur sehen kann. Unwiderlegbar schöne Muster entstehen universell aus der Beziehung von Elementen und Objekten in Mosaikfliesen, beispielsweise in der Landschaftsmalerei, in fließenden Flüssen und in den spiralförmigen Symmetrien von Tannenzapfen und Muscheln. Mathematische Muster in physischen Formationen geben Ihnen ein Gefühl von Schönheit, das durch die Variation seiner Elemente unverändert bleibt: Universalität, Symmetrie, Einfachheit, Eleganz und Kraft.

Die Kritik der Schönheit in der Kunst ist fragil, weil sie von relativen Beurteilungsmaßstäben abhängt, die zwischen den Kulturen zeitlich variieren. Für Leibniz erklärte dies den Unterschied zwischen Tatsachenwahrheiten und Argumentationswahrheiten, die kritische Absichten widerspiegeln. Bis zur Spätaufklärung war eine formale Unterscheidung von Kant unverständlich zwischen der Wahrnehmung der natürlichen Schönheit als eines schönen Gegenstandes und der künstlerischen Schönheit als einer schönen Darstellung eines Gegenstandes. In der Tradition seiner Zeit verwendete Kant die klassische griechische Proportionslehre in der Natur und in der Kunst, um seinen Glauben an die faktische Wahrheit der Schönheit zu überprüfen. Humes Analyse von Fakten, Werten und Geschmack, kombiniert mit Spinozas Theorie der Ethik und Emotionen wie Neid und Liebe, hatte jedoch bereits das Innenleben starker Emotionen zu einer dauerhaften Norm kritischer Urteile gemacht. Dies kehrte die Idee der Renaissance um, dass Kunst der Spiegel der Natur ist, der optische Wahrheit und faktische Schönheit vereint, was erstmals in Albertis neuer Mathematik der Perspektive gezeigt wurde. Die klassische griechische Vereinigung von Wahrheit, Schönheit und moralischer Güte – eine platonische Trope für gleichgesinnte Realisten wie Brunelleschi, Giotto, Leonardo und Michelangelo – widerspricht wild jedem amoralischen Urteil und jeder Kritik der Schönheit in der abstrakten und spätmodernen Kunst.

Leon Battista Alberti war Philosoph und Kürzel bzw. Sekretär der Päpstlichen Kurie. Er formalisierte erstmals die Ein-Punkt-Perspektive in De pictura (1435) und in der Volkssprache Della pittura (1436). Alberti arbeitete in Florenz mit dem Architekten Filippo Brunelleschi zusammen. In Rom arbeitete er mit Luca Pacioli, einem Mathematiker und Mitarbeiter von Leonardo da Vinci in Mailand, an De divina proportione (1509). Brunelleschi hatte sein Brevetto in Mathematik erworben und bei Paolo dal Pozzo Toscanelli, dem florentinischen Mathematiker, Astronomen, Kosmographen und Berater von Kolumbus, studiert. Pacioli war wahrscheinlich ein Schüler von Piero della Francesca, einem Maler, Mathematiker und Theoretiker der Deprospektiva pingendi (1474). Diese Abhandlung formalisierte seine exquisit symmetrische Brera Madonna (1472-1474) ähnlich wie sein Pala d'altare des Heiligen Antonius (um 1470). Die bildliche Perspektive, die zweidimensionale Darstellung des dreidimensionalen Raums, sei so zu einer Philosophie und Regel der Kunst geworden, die, so Leonardo, allen Lernsystemen wegen ihrer Grundlage in den Gewissheiten der Physik und Mathematik vorzuziehen sei – und der Auftraggeber zu beauftragen mit Vorliebe für Trompe-l'oeil .

Die bemerkenswerte Kontinuität des platonischen Realismus in Kunst und Mathematik erstreckt sich auf den weit verbreiteten Glauben, dass Zahlen, Geometrie und die gesamte Mathematik aus einem absoluten Reich von Objekten oder reinen Formen, paradoxerweise unabhängig von den Sinnen und der physikalischen Realität, enthüllt werden. In der Platoniker Ansicht, ein Mathematiker entdeckt bereits bestehenden Objekten wie dem goldenen Schnitt; während der Formalist Beweise erfindet und konstruiert wie ein Architekt oder ein Erbauer mathematischer Objekte aus den Materialien einer bestimmten Kultur. Die meisten Mathematiker sind sonntags Platoniker, die an Wochentagen formalistisch arbeiten. Viele spielen mit einer Vielzahl objektiv unterschiedlicher und gültiger mathematischer Systeme – die einst für Platon universell waren – in einer Welt des reichlichen Platonismus.

Der Goldene Schnitt φ ist ein einfaches Objekt, das eine grundlegende verborgene Struktur der Renaissancekunst ausdrückt. In der euklidischen Geometrie ist φ das Verhältnis der Seite des regelmäßigen Fünfecks zu der Seite des regelmäßigen Fünfecks. In der modernen Mathematik ist φ gleich 1 plus die Quadratwurzel von 5 geteilt durch 2:

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Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts hängen eng mit der Zahl 5 zusammen, ein faszinierendes Thema, seit Platon behauptete, dass Zahlen von bereits existierenden Objekten ausgehen, die aus dem Reich der reinen Formen enthüllt und entdeckt wurden. Die Historiker Annemarie Schimmel, in Dem Mysterium der Zahl, die englische Ausgabe The Mystery of Numbers (1983) dokumentierte den Verein in der Antike der Nummer 5 mit dem mystischen Pentagramm von kabbalistischem Wissen. Apokryphe Varianten von Genesis 1:27 beschrieben den edenischen Beginn des Universums, in dem die Zahl 5 aus der Vereinigung der Zahlen 2 und 3 entstand und die ersten Formen von Frau und Mann symbolisiert, wobei 1 Gott und die Vereinigung der physischen Realität symbolisiert.

Fünfer-Strukturen entstehen überall in der Natur und in der Kunst. So ist beispielsweise der Anteil des Goldenen Schnitts in den fünfzähligen Symmetrien bestimmter Pflanzen und Blumen deutlich sichtbar. Leonardos Vitruvian Man (1490) legt nahe, dass der menschliche Körper selbst ein sternförmiges Fünfeck ist, das den Goldenen Schnitt als Metapher der Natur und ein Modell für Symmetrie und Proportionen im Design ausdrückt. Pieros Arbeiten drücken fünffache Strukturen in der linearen Geometrie von commensurazione aus , seinem Maßstab für die Beurteilung von Kontur und Proportion. Der Pala d'Altare von Saint Anthony weist eine zentrale Unterteilung in fünf vertikale Räume mit einer vertikalen Unterteilung in fünf Abschnitte auf. Die Madonna von Brera präsentiert links drei Heilige und zwei Engel und rechts zwei Engel und drei Heilige, was die Symmetrie vervollständigt. Federigo da Montefeltro, Herzog von Urbino, ein teilweise gepanzerter Patron zur Rechten, verleiht ein starkes Spannungselement, das die Symmetrie durchbricht. Auf diese Weise stellt Piero ein harmonisches Gleichgewicht wieder her, in dem der Herzog mit den Händen zum Gebet kniet und den Blick schräg auf die Jungfrau und ihren kleinen Sohn richtet. Ein weiteres bekanntes Gemälde von Piero, die Geburt Christi (um 1470), sieht das zerbrechliche Kind links von fünf Engeln umgeben, die die Laute singen und spielen, mit zwei Hirten, dem Heiligen Josef, und dem Esel und dem Ochsen rechts im Hintergrund dieses Meisterwerk der Asymmetrie; die anbetende Jungfrau und die geheimnisvolle Taube des Heiligen Geistes an der Spitze vervollständigen dieses zarte Bild der Demut. Mathematisch noch eleganter ist seine Madonna del Parto (um 1460), die das Paradox einer schwangeren Jungfrau zeigt, die von einem Zelt in Form eines Fünfecks umrissen wird. Piero beabsichtigte mit seinen Werken, die Elemente der biblischen Erzählung in einer symbolischen Sprache darzustellen, die Formalismus mit mathematischer Analyse vereinte. Als pragmatischer Meister der Technik blieb er nie bei der bloßen Vorahnung stehen und überließ nichts dem Zufall.

Der Goldene Schnitt ist nicht nur ein einfaches antikes Objekt; φ spielt auch eine tiefe Rolle bei der Bildung der modernen Mathematik. Als irrationale Zahl zwischen 1 und 2, die von rationalen Zahlen am weitesten entfernt ist, hat der Goldene Schnitt die Eigenschaft, die eindeutige Zahl zwischen 1 und 2 zu sein, die den größten Wert des Nenners q benötigt, um eine gegebene Näherung durch die rationale Zahl p . zu erreichen geteilt durch q. Wir nennen zwei auffallend elegante Formeln für den Goldenen Schnitt. Im ersten Fall ist φ gleich der Quadratwurzel von 1 plus der Quadratwurzel von 1 plus der Quadratwurzel von 1 in einer verschachtelten Konstruktion bis ins Unendliche; im zweiten Fall ist φ gleich 1 geteilt durch 1 plus 1 geteilt durch 1 plus 1 geteilt durch 1 in einer verschachtelten Konstruktion bis ins Unendliche. Die zweite Formel ist die interessantere von beiden als Ausgangspunkt für den Beweis der extremen Irrationalität des Goldenen Schnitts.

Die Fibonacci-Folge, benannt nach Leonardo von Pisa (genannt Fibonacci), drückt den Goldenen Schnitt mit schöner Präzision aus. Fibonacci veröffentlichte es erstmals in Liber Abaci (1201). Er hatte für seinen Vater in einem Zollhaus in der Nähe von Algier gearbeitet und bei muslimischen Mathematikern entlang mediterraner Handelsrouten studiert, um der renommierteste Mathematiker im mittelalterlichen Europa zu werden. Die Fibonacci-Folge ist 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, . . . ins Unendliche, wobei jede Zahl nach den ersten beiden die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ist. Es gibt die besten rationalen Annäherungen an den Goldenen Schnitt; die Brüche  Fn+1/Fn  komm näher und näher an φ. Die Fibonacci-Folge wird auch im Goldenen Schnitt ausgedrückt:

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Die euklidische Geometrie und der Goldene Schnitt bilden die früheste Grundlage der Schönheit in der Geschichte der Mathematik. Stellen Sie sich vor, dass der Mathematiker Frank Morley im Jahr 1899, mehr als zwei Jahrtausende nachdem Euklid Elements schrieb, den letzten wirklich neuen Satz in der euklidischen Geometrie entdeckte. Der Satz von Morley besagt, dass die drei Punkte, an denen sich die Dreisektoren der Winkel eines beliebigen Dreiecks treffen, die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks sind. Wunderschönen! Sie können sich fragen, warum ein Ergebnis wie der Satz von Morley in der klassischen euklidischen Geometrie nie auftrat: wahrscheinlich, weil die Griechen der klassischen Antike nicht in der Lage waren, die Dreiteilung eines Winkels mit euklidischen Konstruktionen zu erhalten. Heute wissen Mathematiker, dass die Dreiteilung eines Winkels im Rahmen der ebenen euklidischen Geometrie nicht möglich ist. Sie halten dieses „negative“ Ergebnis für eine schöne Konsequenz aus Galois' Theorie (1832) über die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen, die durch tiefgreifende Ergebnisse über Permutationsgruppen gewonnen wurde. Was also einst ein Makel der euklidischen Geometrie gewesen sein mag – die Unmöglichkeit, den Satz von Morley in seinem Kontext zu beweisen – ist jetzt eine schöne Entdeckung, die unser Wissen über Geometrie, Logik und die entsprechenden Symmetrieformationen erweitert.

Aus unserer Geschichte des Goldenen Schnitts könnte man ableiten, dass er ein Grundpfeiler aller Mathematik ist. Aber die Laplace-Gleichung  Uxx + Uyy + Uzz = 0  ist weitaus bedeutsamer. Immer wieder taucht es in der Analysis, in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der mathematischen Physik, der Astrophysik, der Chemie, sogar im Financial Engineering auf – ja in allen Fällen, in denen es um den Gleichgewichtszustand eines Systems geht. Es drückt schön die starke Relevanz der Mathematik für tief offene Fragen aus, zum Beispiel in der Philosophie zur Kausalität. Laplaces Mécanique céleste (1829) entwickelt die Newtonsche Mechanik und die Differentialrechnung so weit, dass der Determinismus ein unausweichlicher Zustand der physikalischen Realität zu sein scheint: die Kräfte und die Position und Geschwindigkeit jedes Teilchens im Universum zu einem bestimmten Zeitpunkt zu kennen, den Zustand des Universums zu einem späteren Zeitpunkt ist eindeutig bestimmt; Zufall, freies Handeln oder Handeln sind also bei Laplace kausale Fiktionen über die wahren Naturgesetze. Aber seine Gleichung ist nur ein einfaches mathematisches Modell. Ist es richtig oder​ elegant, daraus so weitreichende philosophische Konsequenzen zu ziehen oder zu behaupten, die Naturgesetze seien nie durch neue Entdeckungen revidiert worden?

Mit dem Aufkommen der Quantentheorie wissen wir nun, dass das Laplace-System nicht alle Mechanismen des beobachtbaren Universums beschreiben kann. In der Quantenmechanik wird der Zustand des Universums durch eine Wellenfunktion ψ gegeben, die der Schrödinger-Gleichung, einem nahen Verwandten der Laplace-Gleichung, genügt. Auch für Schrödinger ist die Entwicklung von ψ deterministisch: Wenn man die Wellenfunktion einmal kennt, ist sie zu späteren Zeiten eindeutig bestimmt. Die Wellenfunktion beschreibt jedoch nur die Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen aus einer Beobachtung. Fast ein Jahrhundert nach der Formulierung der Quantentheorie gibt es immer noch keinen Konsens über ihren Geltungsbereich, vielleicht weil sie der klassischen Mechanik und der starken Ansicht – an der Grundlage von Wissenschaft und Gesellschaft – widerspricht, dass natürliche Prozesse und menschliches Handeln von Vergangenheit und einfache Mechanismen von Ursache und Wirkung. Aber wie können in einem von festen Gesetzen vorgegebenen Universum Aktionen entstehen, die etwas so verblüffend Komplexes und Unbestimmtes wie einen schönen neuen Beweis oder den überbordenden Realismus der Renaissance hervorbringen?

Die Ansicht, dass die Mathematik den Naturgesetzen, den menschlichen Emotionen und den Künsten innewohnt, zeigt sich wunderbar in Albrecht Dürers berühmtestem Kupferstich, Melencolia I (1514). Sein zentrales Bild einer geflügelten Frau, die dunkel nach innen blickt – wie ein Orakel, das die schattenhaften Formen des Kosmos betrachtet – symbolisiert die Melencholia imaginativa , eine frühneuzeitliche Trope aus der klassischen griechischen Medizin und der Analyse der vier Körpersäfte oder Temperamente. Sie verkörpert das Genie der Kunst und die tiefe mathematische Realität: Eine Kugel stellt das perfekte endliche Universum in den Vordergrund; ein Polyeder, das abgestumpfte Rhomboeder, repräsentiert die beschreibende Geometrie archimedischer Körper; Astrolabien und Quadranten suggerieren das Maß von Raum und Zeit. Ein subtiles 4 x 4 magisches Quadrat aus ganzen Zahlen an der Spitze ihres Flügels verweist auf die Fibonacci-Zahl und ist ein Zeichen dafür, dass die verborgene mathematische Ordnung der Natur das Böse in Gutes verwandelt und Angst besiegt, sagte der Renaissance-Philosoph Marsilio Ficino. Das Datum 1514, in der Mitte der letzten Reihe der Magie  Quadrat,  feiert  das  Fertigstellung  von  Dies  Meisterstück.  Dürer,  ein  Der deutsche Künstler und Mathematiker von Abhandlungen über Perspektive und Proportion teilte mit seinen theoretisierenden italienischen Zeitgenossen eine Philosophie der Kunst und eine Theologie des Innenlebens, die das reformatorische Europa revolutionierte.

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Dürers Bild des Innenlebens sagt die paradoxen Freuden mathematischer Wahrheiten voraus, die sogar die Musik durchdringen. Betrachten Sie Ihre Erfahrung, wie ein Bach-Konzert oder eine Mozart-Sonate Ihre Wahrnehmung der Realität vertieft. Die Struktur der Musik ist mathematisch, wie Pythagoras zuerst zeigte. So ist es mit den langlebigen Objekten der Mathematik, die von Musik über Kunst und darüber hinaus über kulturelle und natürliche Auslese bis hin zur Kosmologie reichen, die die symmetrische Bildung der Materie am Anfang des Universums beschreibt.

Symmetrische Formationen von Materie drücken Schönheit in der Mathematik aus. Der Begriff einer Gruppe drückt Symmetrie in der Mathematik aus. Was ist eine Gruppe? Betrachten Sie jedes Objekt, konkret oder abstrakt. Eine Symmetrie des Objekts – mathematisch ein Automorphismus – ist eine Abbildung des Objekts auf sich selbst, die alle seine Eigenschaften beibehält. Das Produkt zweier Symmetrien, die eine auf die andere folgt, ist ebenfalls eine Symmetrie, und jede Symmetrie hat eine Umkehrung, die sie aufhebt. Symmetrien eines Quadrats können durch Drehen um 90 Grad oder durch Spiegeln in der vertikalen Achse erhalten werden. Mathematiker halten Lie-Gruppen (ausgesprochen lee ) für eine schöne kontinuierliche Grundlage für einen großen Teil der Mathematik und auch für die Physik. Neben stetigen Lie-Gruppen gibt es nicht stetige endliche und diskrete Gruppen; einige sind aus Lie-Gruppen durch Reduktion auf eine endliche oder diskrete Einstellung erhältlich.

Wer dem Labyrinth der Innenarchitektur trotzt, kennt die furchterregenden Symmetrien von Tapeten in den Gittertypen mathematischer Kachelungen für das Parallelogramm, das Sechseck, Dreieck, Rechteck, Quadrat und die Raute, an verschiedenen Rotations- und Reflexionsachsen. Im Gegensatz zu Gitterfliesen, die periodisch sind, gibt es auch aperiodische selbstähnliche quasikristalline Fliesen, die Penrose-Fliesen genannt werden, benannt nach ihrem Entdecker, dem Mathematiker und Physiker Roger Penrose. Während die Zahl der unterschiedlichen Gittertypen endlich ist – es existieren genau 17 davon – gibt es ein Kontinuum unterschiedlicher Penrose-Fliesen. Aber durch Selbstähnlichkeit erscheint jedes Stück einer gegebenen Penrose-Fliese unendlich oft in jeder anderen Penrose-Fliese!  Penrose-Kacheln waren für Mathematiker eine große Überraschung, da ihre spektralen Eigenschaften punktförmig sind und den punktförmigen Röntgenbeugungsmustern natürlicher Kristalle ähneln.

Noch überraschender war die mit dem Nobelpreis ausgezeichnete Entdeckung von Daniel Schechtman, dass Quasikristalle in der Natur als fünfzählige Symmetrien aperiodischer Legierungen bestimmter Metalle vorkommen. Der Physiker Paul Steinhardt, einer der Entdecker von Quasikristallen, hat ihre Verbindung zu der verblüffenden Ähnlichkeit zwischen Penrose-Fliesen und frühmittelalterlichen islamischen Mosaiken oder Girih-Fliesen wunderschön gezeigt. Stellen Sie sich vor, dass sechs Jahrhunderte vor Penrose islamische Künstler und Architekten Fünfeck- und Zehneckmotive eingeführt haben, Kacheln mit teilweise fünfeckigen Symmetrien, die die zerbrechliche Schönheit zeitloser Kunst ausdrücken. Diese abstrakten Feinheiten in der Mathematik sind Werkzeuge zur Beschreibung der Natur und von Kunstwerken wie Girih- und Penrose-Fliesen, einfach gemacht mit zwei grundlegenden rhombischen Fliesen, einer schmalen und einer breiten, in präzisen Formen, die mit dem Goldenen Schnitt, dem Fünfeck und den Sternpentagonen verbunden sind . Mathematische Beschreibungswerkzeuge helfen uns, die sonst verborgenen universellen Strukturen in der Natur zu erkennen, den Goldenen Schnitt, das Sternpentagon, die jeweils formale Normen der Präzision in der gesellschaftlichen Abstraktion von der reinen Mathematik bis zur abstrakten Kunst hervorbringen.

Endliche Symmetriegruppen, wie die Symmetrien eines Quadrats oder eines Würfels, entzogen sich lange Zeit der Klassifizierung, bis die Mathematiker alle endlichen einfachen Gruppen erfolgreich klassifizierten. Das Klassifikationstheorem ist ein Beweis dafür, dass es heute mehr als 3.000 Seiten umfasst und über 40 Jahre der gemeinsamen Arbeit von mehr als 100 Mathematikern gekostet hat. Dieser Satz bringt Ordnung in die Theorie der endlichen Gruppen. Einfache Gruppen sind wichtig, weil sie eine Art Grundstein sind, aus dem jede endliche Gruppe aufgebaut ist. Zum Beispiel kann eine Gruppe von Drehungen eines Polygons mit 15 Seiten durch kombinierte Drehungen von 120 Grad und Drehungen von 72 Grad erhalten werden, wobei letztere einfache Gruppen erzeugen. Abwechselnde Gruppen, beginnend mit der ikosaedrischen Gruppe und endlichen Gruppen vom Lie-Typ, bilden endlich viele Familien einfacher Gruppen, aber mit unendlich vielen Mitgliedern in jeder Familie. Als klassische Lie-Gruppen sind sie eng mit Symmetrien der zugrunde liegenden Geometrien verbunden. Es gibt auch 26 außergewöhnliche Gruppen, ganz im Gegensatz zu den Gruppen des Lie-Typs, die als sporadische Gruppen bekannt sind. Zwei sporadische Gruppen sind hier relevant: die nach John Conway benannte Conway-Symmetriegruppe, die Symmetrien (bis auf eine Spiegelung) eines sehr bemerkenswerten Gitters in 24 Dimensionen, des Blutegel-Gitters; und die Fischer-Griess-Gruppe F1 , die von RL Griess bei einem Besuch am Institute for Advanced Study nachgewiesen wurde. Von Mathematikern auch das Monster genannt , ist die Fischer-Griess-Gruppe die größte, gigantische sporadische Gruppe mit

808017424794512875886459904961710757005754368000000000

Elemente. Es enthält in sich 21 der 26 sporadischen Gruppen, und die Conway-Gruppe ist eine davon! Durch eine völlig unerwartete Entwicklung aus der merkwürdigen Numerologie 196883 + 1 = 196884, wobei 196883 eine kritische Zahl ist, die benötigt wird, um das Monster zu beschreiben, und 196884 eine andere Zahl ist – aus der 150 Jahre alten Studie über elliptische und automorphe Funktionen – hat das Monster jetzt wurde durch seine klare Verbindung zu vielen verschiedenen Gebieten der Mathematik und der mathematischen Physik gezähmt. Ist es nicht schön, dass die beharrliche Zusammenarbeit der Mathematiker das Monster F1 zähmen würde?

Über Schönheit in der Mathematik könnte noch mehr gesagt werden, vom fragilen Prozess der robusten Peer-Review bis hin zu jedem Konsens darüber, was nachweislich wahr und schön ist. Selbst die einfachste Sache der Mathematik, nämlich die Zahlenfolge 1, 2, 3, . . . aus dem alle Mathematik entstanden ist, birgt in sich ein tiefes Geheimnis, die Folge 2, 3, 5, 7, . . . von Primzahlen, die die Bausteine der Multiplikation bilden. Mathematiker haben bereits schöne Beziehungen zwischen den Eigenschaften von Primzahlen entdeckt, von denen einige fest verankert sind. Aber die wichtigsten Beziehungen sind immer noch Vermutungen und werfen offene Fragen in der Analysis, Geometrie und sogar Physik auf. Hier weiter zu verweilen, würde unseren gegenwärtigen Rahmen sprengen, daher beenden wir unsere Liste schöner Beispiele mit einer berühmten Konstruktion, die Mathematik mit Logik und Philosophie verbindet.

Mathematiker suchen immer nach einem schönen Beweis und geben sich nie damit zufrieden, nur zu wissen, dass etwas wahr ist. Sie wollen wissen, warum es wahr ist. Nehmen Sie das Kontinuum, eine uralte Quelle für Streit unter griechischen Philosophen wie Zeno, sein Paradoxon, das sich aus der unendlichen Teilbarkeit ergibt. George Cantor gab eine präzise mathematische Definition des Kontinuums, das unsere naive Ansicht widerspiegelt, dass es die Gesamtheit aller Zahlen ist, die in dezimaler Notation als ganze Zahl gefolgt von einer unendlichen Folge von Dezimalziffern geschrieben werden, die ab einem bestimmten Punkt nicht alle gleich 9 sind. (Die Definition von Cantor kommt dem Begriff der Zahl von Eudoxus unheimlich nahe.)

Cantor produzierte ein berühmtes diagonales Argument, das als Cantors Theorem über die Unzählbarkeit des Kontinuums bekannt ist. Dieser mächtige einfache Beweis zeigt, dass das Kontinuum, nämlich alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1, nicht in einer Liste als erste, zweite, dritte usw. aufgeführt werden können. Daher ist das Kontinuum unzählbar. Nehmen wir als Gegenbeispiel an, dass es in einer unendlichen Liste abzählbar ist:

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0.643546675432534645600112 . . .

0.100053453647545546043860 . . .

0,0000000000001000004534237 . . .

0.999999999961045674732017 . . .

0.222955600333054564501179 . . .

0,141592653589793238462643 . . .

0.777777777777777777777777777 . . .

0.421047542507075505555001 . . .

0.777777771777777777777777777 . . .

0.777777777177777777777777777 . . .

0.010010001000010000010000 . . .

0.099999999999999900000000 . . .

Die diagonale Markierung ist 0,600952741109 . . . , die n-te Ziffer der n-ten Zahl. Wenn Sie jede Ziffer der diagonalen Zahl ändern, kann das Ergebnis in keiner Zeile stehen; Daher ist es nicht in der Liste. Ein schöner Beweis! Wieso den? Weil es universell beweist, dass es verschiedene Arten von Unendlichkeit gibt, die Unendlichkeit der positiven ganzen Zahlen 1, 2, 3, . . . und die Unendlichkeit des Kontinuums 0_______1. Intuitiv demonstriert es, dass eine diskrete Unendlichkeit existiert, die sich von der Unendlichkeit des Kontinuums wie einer geraden Linie unterscheidet. Das Diagonalargument von Cantor ist nicht auf diesen Satz beschränkt; es ist auch in der mathematischen Logik, über das Wesen der Unendlichkeit und in der Informatik, über das Wesen der Komplexität zu einem mächtigen Werkzeug geworden. Denken Sie an die erstaunlichen mathematischen Konsequenzen des Satzes von Cantor für die euklidische Geometrie. Die philosophischen Konsequenzen haben die Grundlagen der Analyse und jedes apriorischen synthetischen Urteils unwiderruflich erschüttert, das Humes Leugnung widerlegt, dass wahre Erkenntnis jeder Metaphysik möglich ist.

Cantor zeigte, dass die abzählbare Unendlichkeit der positiven ganzen Zahlen kleiner ist als die Unendlichkeit des Kontinuums. Die berühmte Kontinuumshypothese ist die Behauptung, dass es keine Unendlichkeit gibt, die größer als die abzählbare Unendlichkeit und kleiner als die Unendlichkeit des Kontinuums ist.  Die technische Situation ist folgende:  Gödel hat bewiesen, dass die Kontinuumshypothese nicht von den Axiomen der Mengenlehre widerlegt werden kann. Paul Cohen hat bewiesen, dass es nicht bewiesen werden kann. Damit ist die Kontinuumshypothese unabhängig von den Axiomen der Mengenlehre; es kann weder bewiesen noch widerlegt werden. Die philosophische Konsequenz ist, dass der Wahrheitswert der Kontinuumshypothese ungewiss oder bestenfalls undefiniert ist. Kant glaubte, dass die Axiome der euklidischen Geometrie wahr seien. Aber jetzt wissen wir, dass es auch nichteuklidische Geometrien gibt. Darüber hinaus hat John Conway vorgeschlagen, dass es unberechenbare einfache mathematische Behauptungen gibt, die nicht aus den Axiomen der Mengenlehre folgen. Was ist dann Wahrheit in der Mathematik? Gibt es einen grundlegenden Unterschied zwischen dem Wissen, ob die Axiome der euklidischen Geometrie wahr sind, und dem Wissen, ob die Kontinuumshypothese wahr ist? In jedem Fall sehen wir, dass Wahrheit an sich fragil ist und nicht mit der Abwesenheit von Widerspruch zu identifizieren ist.

Axiomatisches Denken und Konstruieren besitzen jeweils eine andere Art von Fragilität. Konstruktivisten und Intuitionisten setzen dem Machbaren starke Grenzen, während axiomatisches Denken nur die Existenz eines Objekts ohne Methode zu seiner Konstruktion demonstrieren kann. Das heißt, axiomatisches Denken kann zeigen, dass die Hypothese, dass das Objekt nicht existiert, zu einem Widerspruch führt. Das diagonale Argument von Cantor beweist, dass das Kontinuum nicht aufzählbar ist; es sagt jedoch nichts über die Struktur des Kontinuums aus. Auch der Konstruktivismus behauptet, dass konstruktives Denken richtig ist. Aber die Praxis der großen Mehrheit der Mathematiker besteht darin, nicht-konstruktive axiomatische Argumentation zu verwenden und dann die Konstruktionsmöglichkeiten zu untersuchen, die einfach nur Geschmackssache sein können.

Hume war der skeptische Geschmacksprophet, der die Rolle des Subjekts – des Selbst – in der Wahrnehmung von Schönheit als höchstem Gut ästhetischen Genusses ankündigte. Lange bevor Freud das Lustprinzip zur festen Norm der menschlichen Absicht machte, hatte Hume ästhetisches Vergnügen zum Maßstab der Schönheit gemacht, der durch die Wahrnehmung der Sinne überprüft wurde. Aber Kants Ästhetik der Objekte vor der Wahrnehmung von Schönheit – und Wahrheit – revidierte diese Beziehung zwischen physischer und nichtphysischer Realität.  Der Platoniker Kant machte die Schönheit an sich zur offenbarten Emanation der mathematischen Wahrheit und der reinen metaphysischen Formen oder Gegenstände. Wie ist Wahrheit als Schönheit zu verifizieren, wenn sie eine Offenbarung aus Platons Reich der reinen Formen ist? An welchen Beweisen der Sinne bestätigst du eine Offenbarung? Und sind die Sinne zuverlässig nachweisbar? Ist die Wahrnehmung von Schönheit eine bloße Projektion des Wunsches nach Lust, Schmerz abzuwenden oder zu unterdrücken? Ist ein echtes mathematisches Objekt physisch oder nicht? Was ist ein reales Objekt? Ist die mathematische Wahrheitsprüfung an der physikalischen Realität beteiligt, weil sie entdeckt oder aus der Kultur menschlicher Werke und den fragilen Prozessen kultureller Selektion erfunden wird? Bewahrt ein Beweis wirklich die Erscheinung reiner Formen, die in einem mystischen Reich schöner Gegenstände entdeckt wurden?

Analoge Fragen in Kunst, Poesie, Musik und Geschichte prägen die Frage nach der Schönheit aufgrund ihrer zutiefst persönlichen Rolle bei der Gestaltung menschlicher Werke und menschlicher Werte. Mathematiker arbeiten wie Dichter oder Maler: Der Unterschied besteht darin, dass ein Raum von Mathematikern, die sich mit einem Problem befassen, innerhalb einer Gemeinschaft, die Werte schätzt und Konsens erfordert, die gleiche Antwort erhält. Die Konstruktion mathematischer Objekte durch Individuen ist fragil; diese Objekte an sich sind jedoch robust aufgrund dauerhafter sozialer Normen von Peer Review und Konsens. Wie Dichter, Maler und Musikkomponisten haben Mathematiker ihren eigenen Stil und ihre eigene Technik. Aber die mathematische Wahrheit ist nicht nur eine Sammlung von Theoremen, ebenso wenig wie die Malerei eine bloße Sammlung von Pigmenten. Für Mathematiker sind Theoreme, wie Tarski bewiesen hat, etablierte Wahrheiten, die durch eine fragile Konstruktion von Beweisen gewonnen werden, die zu einem Konsens der Verifikation führen. Der Prozess von der fragilen Konstruktion zur robusten Verifikation beschreibt nicht nur die sozialen Normen der mathematischen Gemeinschaft; es weist auch auf die allmähliche Unterscheidung von Beziehungen zwischen den mathematischen Objekten eines Beweises hin.

Mathematiker neigen, manchmal unfreiwillig, dazu, Wittgensteins Konzept des Aspekts – die zeitliche Wahrnehmung der inneren Beziehungen eines Objekts – als einen wesentlichen Bestandteil der Mathematik zu akzeptieren. Dies liegt daran, dass sich jeder gegebene Aspekt, jedes Element oder jede Eigenschaft von Beziehungen zwischen Objekten oder Beweisen im wechselnden Licht der Wahrnehmung unbestimmt entfaltet, ähnlich wie sich der relationale Aspekt von Objekten beim Betrachten eines Gemäldes ändert. Ein Gedicht, eine Symphonie, ein Gemälde oder eine schriftlich fixierte Erzählung ändert sich nie, aber die Art und Weise, wie Sie einen Text lesen, Musik hören oder Kunst betrachten, ändert sich mit zeitlichen Verschiebungen von Emotionen, Geschmack oder Winkeln von Licht und Raum die einen Konsens unwichtig machen. Wahrheitstragende Geschichte wird unabhängig von der Schönheit oder Güte der Ereignisse wissenschaftlicher Repräsentation gemacht, obwohl Historiker einen robusten Konsens über fragile historische Wahrheiten als Gegenstand und Beziehungen der Faktenanalyse schätzen. Poesie wird heute selten so geschrieben, dass sie schön oder sogar notwendigerweise wahr ist, sondern eher um ein starkes vorsprachliches Bewusstsein der Art und Weise zu befriedigen, wie die Dinge durch das Gedicht verändert werden, abgesehen von einer formalen Analyse des Aspekts. Zitat von Keats,

„Schönheit ist Wahrheit, Wahrheit Schönheit, – das ist alles

          Ihr wisst auf Erden und alles was ihr wissen müsst."

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